Đường tròn là một nội dung quan trọng xuất hiện trong chương trình Toán 9 phần Hình học. Vậy, đường tròn là gì? Cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn ra sao? Để hiểu rõ hơn chúng ta cùng tìm hiểu bài viết sau đây
Đường tròn là một nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 9. Vậy, đường tròn được xác định khi nào? Và khi cho 4 điểm bất kì thì làm sao để nhận biết 4 điểm đó có cùng thuộc một đường tròn hay không? Để hiểu rõ hơn cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn, chúng ta hãy cùng tìm hiểu bài viết sau đây.
Bạn đang xem: Cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc 1 đường tròn
1. Nhắc lại một số kiến thức
Đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kínhĐường tròn được xác định khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn. Trong trường hợp này, tâm của đường tròn chính là trung điểm của đường kính, còn bán kính có độ dài bằng đường kính chia 2Đường tròn có tâm là O, bán kính là R được kí hiệu là (O; R)Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Hay nói cách khác, điều kiện để ba điểm cùng thuộc một đường tròn là ba điểm đó không thẳng hàng
Khi cho ba điểm không thẳng hàng, ta luôn vẽ được một tam giác. Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác có tâm là giao điểm của các đường trung trực trên các cạnh của tam giác, bán kính có độ dài từ tâm tới một đỉnh của tam giác. Lúc này, tam giác được gọi là nội tiếp đường tròn hay đường tròn ngoại tiếp tam giác
2. Các cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn
2.1. Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn bằng cách chỉ ra có 1 điểm nào đó cách đều 4 điểm đã cho
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AH DC (H DC), từ C kẻ CK AB (K AB). Chứng minh 4 điểm A, H, C, K cùng thuộc một đường tròn
Giải
Gọi I là trung điểm của AC
AHC vuông tại H có HI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên HI = IA = IC (1)
AKC vuông tại K có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên KI = IA = IC (2)
Từ (1) và (2) ta có: IH = IK = IA = IC
Suy ra 4 điểm A, H, C, K đều cách đều I
Vậy, 4 điểm A, H, C, K cùng thuộc một đường tròn
2.2. Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn bằng cách chỉ ra có hai góc kề bằng nhau cùng nhìn một cạnh
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho AN = AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AC. Chứng minh 4 điểm B, C, M, N cùng thuộc một đường tròn
Giải
= = 900 (gt)
AM = AC (gt)
AN = AB (gt)
( 2 cạnh góc vuông)
MN = CB ( 2 cạnh tương ứng)
Ta có: NC = NA + AC và BM = BA + AMMà NA = BA (gt) và AC = AM (gt)
NC = BM
Xét tam giác MNC và tam giác CBM có:MN = CB (cmt)
NC = BM (cmt)
MC là cạnh chung
(c.c.c)
( 2 góc tương ứng)
Mà hai góc này cùng nhìn cạnh MC
Vậy, 4 điểm B, C, M, N cùng thuộc một đường tròn
2.3. Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn bằng cách chỉ ra trong tứ giác tổng hai góc đối diện bằng 1800
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có = 800; = 1200; = 1000; = 600. Hỏi 4 điểm A, B, C, D có cùng thuộc một đường tròn hay không? Tại sao?
Giải
Trong tứ giác ABCD có và là hai góc đối nhau
Mà + = 800 + 1000 = 1800
Vây, 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn
Chú ý: Từ 4 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được một tứ giác. Nên khi 4 điểm cùng thuộc một đường tròn ta cũng có thể nói tứ giác nội tiếp đường tròn hay đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
3. Bài tập áp dụng cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn
Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R). Biết = 600; = 1100. Khi đó số đo và lần lượt là
1200; 700700; 1200800; 10001000; 800ĐÁP ÁNHướng dẫn: Vì tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) nên
+ = 1800 = 1800 - = 1800 - 600 = 1200
+ = 1800 = 1800 - = 1800 - 1100 = 700
Vậy, = 1200; = 700
Chọn câu A
Bài 2: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu đúng là
4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính AC4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính BD4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính IA4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I, đường kính IAĐÁP ÁNHướng dẫn: Trong hình vuông, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Nên IA = IB = IC = ID
Vậy, 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính IA
Chọn câu C
Bài 3: Hình có 4 điểm cùng thuộc một đường tròn là
Hình bình hànhHình thoi
Hình thang
Hình thang cân
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn: Vẽ hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo là AC, BD
Xét tam giác ADC và tam giác BCD có:
AD = BC ( 2 cạnh bên của hình thang cân)
AC = BD ( 2 đường chéo của hình thang cân)
CD là cạnh chung
(c.c.c)
( 2 góc tương ứng)
Mà hai góc này cùng nhìn cạnh CD
Vậy A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn
Chọn câu D
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. Trên tia đối của tia NM lấy điểm K sao cho NK = NM. Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu sai là
Tứ giác AMKB là hình chữ nhật4 điểm A, M, K, B cùng thuộc một đường trònMK = 2.MN4 điểm B, M, C, K cùng thuộc một đường tròn
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn:
Mà NK = NM nên NK + NM = MK = 2.MN
Vậy, câu C đúng
Vì M, N lần lượt là trung điểm AC, BC nên MN là đường trung bình củaABC MN // AB và MN = .AB
MK // AB và MK = 2.MN = AB
Tứ giác AMKB là hình bình hành
Mà = 900 (gt)
Tứ giác AMKB là hình chữ nhật
Vậy, câu A đúng
Do AMKB là hình chữ nhật (cmt) nên+ = 900 + 900 = 1800Mà đây là hai góc đối nhau nên 4 điểm A, M, K, B cùng thuộc một đường tròn
Vậy, câu B đúng
Chọn câu D
Bài 5: Trong các hình sau: hình thoi, hình bình hành, hình thang, hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân. Tứ giác có có 4 đỉnh nằm trên đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo là
Hình thoi, hình thang cânHình vuông, hình chữ nhật
Hình vuông, hình bình hành
Hình vuông, hình thang
ĐÁP ÁN
Chọn câu B
Trên đây là một số cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn và các bài tập liên quan. Mong rằng các em có thể vận dụng để làm nhiều bài tập hơn nữa và đạt kết quả cao trong các kì thi sắp tới.
– Cách 1: Chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm O thì các điểm này cùng nằm trên đường tròn tâm O.
– Cách 2: Chứng minh các điểm này cùng nhìn một cạnh dưới các góc vuông thì các điểm này cùng nằm trên đường tròn nhận cạnh là đường kính và nhận trung điểm của cạnh là tâm.
Bài tập mẫu: Cho tứ giác ABCD có tổng hai góc C và D là 900. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N , P , Q cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó.
Giải:
Gọi K là giao điểm của AD và BC
Vì:
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.
M, Q là trung điểm của AB và AC ⇒ MQ là đường trung bình của tam giác BAC
⇒ MQ // BC (3)
Ta có: AD ⊥ BC nên từ (1) và (3) suy ra MN ⊥ MQ
Do đó, tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.
Ta có: IM = IN = IP = IQ (tính chất giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật)
⇒ 4 điểm M, N, P , Q cách đều điểm I nên bốn điểm này cùng thuộc đường tròn
(I; IM).
Cùng Top lời giải tìm hiểu về Đường tròn, cách định lý liên quan đến đường tròn và các bài tập khác chúng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn nhé!
Mục lục nội dung
1. Định nghĩa đường tròn
2. Định lí về sự xác định một đường tròn
3. Tính chất đối xứng của đường tròn
4. Bài tập
1. Định nghĩa đường tròn
Đường tròn tâm O bán kính R, kí hiệu (O;R), là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R.
+ Nếu A nằm trên đường tròn (O;R) thì OA=R
+ Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OAR.
2. Định lí về sự xác định một đường tròn
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
Tâm O của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
3. Tính chất đối xứng của đường tròn
a) Tâm đối xứng
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
b) Trục đối xứng
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn
4. Bài tập
Ví dụ 1 : Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60o. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB" và CC". Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
+ Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Do đó, H, I và O cùng nhìn BC cố định dưới một góc 120o.
Suy ra, H, I và O thuộc cung chứa góc 120o dựng trên đoạn BC.
⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120o dựng trên đoạn BC.
Ví dụ 2 : Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E ( E nằm giữa A và D). AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F.
a. Chứng minh IF ⊥ AB tại J
b. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, AF, IF. Chứng minh 4 điểm J, P, Q, R cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
a. Ta có D, E thuộc đường tròn đường kính AB
⇒ AD, BE là đường cao của tam giác AFB
Mà BE giao AD tại I
⇒ I là trực tâm của tam giác AFB
⇒ IF là đường cao của tam giác AFB
⇒ IF ⊥ AB tại J (đpcm)
b.
P, Q là trung điểm của AB và BF ⇒ PQ là đường trung bình của ΔABF
⇒ PQ // BF
Mà AD BF
⇒ AD ⊥ PQ
R, Q là trung điểm IF và BF ⇒ RQ là đường trung bình của ΔIFA
Từ (*) và (**) suy ra bốn điểm P, Q, R, J cùng nằm trên đường tròn đường kính PR.
Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
Hướng dẫn giải
ΔBAD có góc A bằng 90o A nằm trên đường tròn đường kính BD.
ΔBED có góc E bằng 90o (E là hình chiếu của D lên BC) ⇒ E nằm trên đường tròn đường kính BD.
F đối xứng với E qua BD nên F cũng nằm trên đường tròn đường kính BD (tính chất đối xứng của đường tròn).
Vây 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BD tâm O là trung điểm của BD.
Ví dụ 4 : "Góc sút" của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 mét.
Hướng dẫn giải
Gọi vị trí đặt quả bóng để sút phạt đền là M, và bề ngang cầu môn là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ.
Xem thêm: Đề thi học kì 2 lớp 11 môn toán trắc nghiệm có đáp án 11 có đáp án chi tiết
Gọi H là trung điểm của PQ, ta có:
+ Vẽ cung chứa góc 37o12’ dựng trên đoạn thẳng PQ. Bất cứ điểm nào trên cung vừa vẽ cũng có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11m.