Kéo xuống để download ngay đề cương phiên bản PDF đầy đủ: Sau “mục lục” với “bản xem trước”
(Nếu là đề cương các công thức yêu cầu mọi fan nên sở hữu về để xem tránh mất công thức)
Đề cương liên quan: Giải cụ thể đề thi hoá khối A năm 2009 (hay)
Tải ngay đề cương bản PDF tại đây: bank đề thi toán cao cấp A1
NGÂN HÀNG ĐỀ THI
Môn: TOÁN CAO CẤP A1
Ban hành kèm theo đưa ra quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của giám đốc Học viện technology Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006
PHẦN A
DÙNG mang lại ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH QTKD
THỜI GIAN : 120 phút
MỖI ĐỀ 4 CÂU ( một câu các loại 1, một câu nhiều loại 2, một câu nhiều loại 3 cùng một câu loại 4)
CÂU HỎI LOẠI 1 ĐIỂM (V.I).
Bạn đang xem: Đề thi toán cao cấp a1 có đáp án
Tính đạo hàm của hàm số: .Tính đạo hàm của hàm số: .Tính đạo hàm của hàm số: .Tính đạo hàm của hàm số: .Tính đạo hàm của hàm số: .Tính đạo hàm của hàm số: .Tính vi phân của hàm số: , a là hằng số.Tính vi phân của hàm số: .Tính vi phân của hàm số: .Tính vi phân của hàm số:
CÂU HỎI LOẠI 2 ĐIỂM (V.II)Tính giới hạn sau
.
Tính số lượng giới hạn sau.
Tính số lượng giới hạn sau.
Tính số lượng giới hạn sau.
Tính giới hạn sau.
Chứng minh rằng và là những vô cùng bétương đương lúc .
Cho hàm sốTìm hằng số a để hàm số thường xuyên tại x = 0.
Tìm số lượng giới hạn sau .Cho hàm sốTìm hằng số c nhằm hàm số liên tục tại x = 0 .
Tìm số lượng giới hạn sauIII. CÂU HỎI LOẠI 3 ĐIỂM (V.III).
Cho hàm sốTính vi phân trên x = e cùng với .
b.Tìm cực trị của hàm số.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi con quay hình phẳnggiới hạn bởi những đường
và xung quanh trục ox.
Cho hàm sốTính dy tại x = 0.Tính .Cho tích phân suy rộng
Chứng minh tích phân đã đến hội tụ.Tính tích phân đó.Cho tích phân suy rộng
Chứng minh tích phân đã đến hội tụ.Tính tích phân vẫn cho.Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi những đường cong
, cùng .
7.Tính thể tích trang bị thể tròn xoay tạo nên khi tảo hình phẳng
giới hạn do đường cong
quanh trục Ox.
Tính thể tích khối tròn xoay tạo cho khi tảo miền phẳnggiới hạn bởi các đường
và xung quanh trục Ox.
Xét sự hội của tích phân suy rộngCho hàm số Tính dy tại x=1Tìm rất trị của hàm số.
CÂU HỎI LOẠI 4 ĐIỂM (V.IV).a. Tính tích phân: .Tìm miền quy tụ của chuỗi luỹ thừa .a. Tính tích phân: .Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ quá .a. Tính tích phân: . B. Xét sự hội tụ của chuỗi số .a. Tính tích phân: .Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ vượt .a. Tính tích phân:Tìm miền quy tụ của chuỗi luỹ thừaa. Tính tích phân: .Tìm miền quy tụ của chuỗi luỹ quá .a. Tính tích phân: .Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ vượt .a. Tính tích phân: .Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa .a. Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường
, với x – y + 4 = 0.
Xét sự hội tụ của chuỗi số .a. Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi những đườngy = x, với y = 2x.
Xét sự quy tụ của chuỗi số .PHẦN B
DÙNG mang lại ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH ĐTVT VÀ cntt
THỜI GIAN : 120 phút
MỖI ĐỀ 4 CÂU ( một câu nhiều loại 1, một câu nhiều loại 2, một câu các loại 3 và một câu loại 4)
I. CÂU HỎI LOẠI 1 ĐIỂM (V.I)Tính tích phân sau
.
Tính tích phân sau.
Tính tích phân sau.
Tính tích phân sau.
Tính tích phân sau.
Tính tích phân sau.
Tính tích phân sau.
Tính tích phân sau.
Tính tích phân sau.
Tính tích phân sau.
II. CÂU HỎI LOẠI 2 ĐIỂM (V.II)
Tính giới hạn sau.
Tính số lượng giới hạn sau.
Tính giới hạn sau.
Tính giới hạn sau.
Tính giới hạn sau.
Chứng minh rằng với là những vô cùng bétương đương khi .
Cho hàm sốTìm hằng số a để hàm số tiếp tục tại x = 0.
Tìm giới hạn sau .Cho hàm sốTìm hằng số c nhằm hàm số thường xuyên tại x = 0 .
Tìm giới hạn sau .III. CÂU HỎI LOẠI 3 ĐIỂM (V.III)
Cho hàm số Tính vi phân tại x = e cùng với .b.Tìm cực trị của hàm số.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi xoay hình phẳnggiới hạn bởi các đường
và quanh trục ox.
Cho hàm số Tính dy trên x = 0. Tính . cho tích phân suy rộngChứng minh tích phân đã mang đến hội tụ.Tính tích phân đó.Cho tích phân suy rộng
Chứng minh tích phân đã đến hội tụ.Tính tích phân vẫn cho.Tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường cong
, với .
7.Tính thể tích đồ gia dụng thể tròn xoay khiến cho khi con quay hình phẳng
giới hạn vày đường cong
quanh trục Ox.
Tính thể tích khối tròn xoay làm cho khi quay miền phẳnggiới hạn bởi các đường
và xung quanh trục Ox.
Xét sự hội của tích phân suy rộngCho hàm số
Tính dy tại x=1 Tìm rất trị của hàm số.
IV. LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM (V.IV)
1.
Xét sự quy tụ của chuỗi số bao gồm số hạng tổng quát.
Tìm miền quy tụ của chuỗi luỹ quá .Xét sự hội tụ của chuỗi số .Tìm miền quy tụ của chuỗi luỹ vượt .Xét sự quy tụ của chuỗi số .Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ quá .Xét sự hội tụ của chuỗi số .Tìm miền quy tụ của chuỗi luỹ quá .Xét sự quy tụ của chuỗi số .Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa . Chứng minh rằng .Từ đó hãy tính tổng .Cho hàm số với .Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier.Từ kia hãy tính tổng .Xem thêm: Cách phát wifi từ laptop win 8 bằng phần mềm wi, cách phát wifi win 8 bằng phần mềm wi
8. đến hàm số với
Khai triển hàm số đã mang đến theo những hàm số sin.Tính tổng .Cho hàm số cùng với .Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier.Tính tổng .Cho hàm số .Khai triển hàm số thành chuỗi những luỹ vượt của (x+1).Tính tổng .
Tài liệu tìm hiểu thêm Đề thi môn toán thời thượng A1 kèm các cách thức giải khác nhau, nhờ cất hộ đến chúng ta độc giả tham khảo hoàn toàn có thể củng cố kiến thức và kỹ năng và cải thiện kỹ năng tiếp thu kiến thức toán cao cấp. Chúc các bạn học giỏi nhé
ĐỀ SỐ 3 2 Giải phương trình y − y = x 2e x . "Câu I. X Đây là pt vi phân con đường tính cấp cho 1 − p. ( x ) dx dx + C ⇒ y=e ∫ q ( x )e ∫ p. ( x ) dx ∫ ∫ x dx 2 x ∫ − x dx 2 2 ∫ y=e dx + C xee < > = e 2 ln x ∫ x 2 e x e −2 ln x dx + C = x 2 .e x + C Giải hệ pt bằng phương thức TR, VTR hoặc khử
Câu II. x"1 (t ) = 5 x1 − 3 x2 + e 2 t (1) x" 2 (t ) = −x1 + 3 x2 ( 2) lấy pt (1) + pt (2) x "1 + x 2 = 4 x1 + e 2t (*) " Đạo hàm 2 vế pt (2) ta được: x1 = 3 x2 − x2 " " " nuốm vào pt (*) 3 x 2 − x 2 + x 2 = 4( 3x 2 − x 2 ) + e 2t " " " " ⇔ − x2 + 8 x2 − 12 x2 = e 2t " " 1 ⇒ x2 = C1e 6t + C 2 e 2t + xe cộ 2t 2 núm vào pt (2) ta được: 7 2t x1 = C1e 6t + C 2 e 2t + e t + xe cộ 2 1 + rã x − 1 − tan x Tính giới hạn lim
Câu III. . X x →0 1 + tan x − 1 − rã x lim x x →0 1 + chảy x − 1 − rã x 1 + rã x − 1 + rã x 2 chảy x = lim = lim = lim =1 ( ) x →0 x 1 + tan x + 1 − tung x x x.2 x →0 x →0 −1 / 4 dx Tính tích phân I = ∫Câu IV. . −1/ 2 x 2 x + 1 Đặ t t = 2x + 1 ⇒ t 2 = 2x + 1 ⇔ tdt = dx −1 −1 x 2 4 t 0 1 2 1 1 1 1 < (t + 1) − (t − 1)> dt 2 2 2 2 tdt 2dt 2dt ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒I= = = = (t − 1)(t + 1) (t − 1)(t + 1) t 2 −1 t 2 −1 .t 0 0 0 0 2 1 1− 1 ∫ ( ln t −1 −ln t +1) 1 2 2 2 = = ln 1 1+ 0 0 2 +∞ dx Tính tích phân suy rộng lớn I = ∫Câu V. . X ln 2 x 2 +∞ 1 +∞ d (ln x) 1 1 1 =− ∫ ln 2 x − lim = = = ln 2 x→+∞ ln x ln 2 ln x 2 2 điều tra và vẽ đồ dùng thị hàm số y = ln x − x + 1 .Câu VI. Tập xd: x>0 lim ( ln x − x + 1) = −∞ x →0 + => tiệm cận đứng x=0 lim ( ln x − x + 1) = −∞ x → +∞ => không tồn tại tiệm cận ngang 1− x 1 y" = − 1 = x x ⇒ y" = 0 ⇔ x = 1 Bảng đổi thay thên: x 0 1 +∞ y’ + ─ y 0 -∞ -∞ 1 y" = − đồ dùng thị không tồn tại điểm uốn nắn x2 báo giá trị: x 0.5 2 y 11 ln + ln 2 − 1 22Đồ thị: x2 1Câu VII. Tính diện tích s miền phẳng giới hạn bởi y = ; y = . 1 + x2 2 x2 1 = Pt hoành độ giao điểm: 2 1+ x2 ⇔ x4 + x2 − 2 = 0 ⇔ x = ±1 diện tích s miền phẳng: 1 x2 1 SD = ∫ − dx 1+ x2 2 −1 1 x2 với y = vì y = không giảm nhau trong khoảng (-1;1) nên: 1+ x2 2 1 3 x 1 x π1 1 2 arctan( x) − ∫1 1 + x 2 − 2 dx = SD = = − 23 6 − −1 ĐỀ SỐ 5 y + x sin x với đk y( π )= 2 π . Giải phương trình
Câu I. Y’ = x Đây là pt vi phân tuyến tính cấp 1: − p. ( x ) dx dx + C ⇒ y=e ∫ q ( x )e ∫ p. ( x ) dx ∫ ∫ x dx 1 1 ∫ − x dx ∫ ( x sin x ) e y=e dx + C 1 y = e ln x ∫ x sin x. Dx + C x y = x.(− cos x ) + C = − x cos x + C Ta có: y (π ) = 2π ⇔ −2π + C = 2π ⇔ C = 4π Vậy nghiệm của pt là: y = − x cos x + 4π Giải hệ pt bằng cách thức TR, VTR hoặc khử
Câu II. x1" (t ) = 3 x1 + 2 x2 + et " x2 (t ) = x1 + 2 x2 + 3t " x1 (t ) = 3 x1 + 2 x 2 + e (1) t " x 2 (t ) = x1 + 2 x 2 + 3t (2) et 3 2 F = A= 1 2 3t Phương trình đặc trưng: A − λI = 0 3−λ 2 ⇔ =0 2−λ 1 ⇔ (3 − λ )(2 − λ ) − 2 = 0 ⇔ λ2 − 5λ + 4 = 0 λ = 1 ⇔ λ = 4 2 2 x1 1 1 x = 0 E1: 2 − 1 ⇒ E1 = 1 2 E4 = 1 −1 2 −1 1 − 2 1 −1 2 phường −1 = P= 1 1 = 3 −1 −1 3 1 1 1 0 D= 0 4 Đặt Y = P-1X ⇒ Y " = DY + p −1 F y1" 1 0 y1 1 − 1 2 e t " = y 0 4 y + 3 1 1 3t 2 2 " 1t y1 = y1 − 3 e + 2t ⇔ t y" = 4y + e + t 2 2 3 dt e t −dt y1 = e ∫ ∫ 2t − e ∫ dt + C1 3 ⇒ 4 dt e −4 dt t y 2 = e ∫ ∫ + t e ∫ dt + C 2 3 t 2t 1 y1 = e ∫ t − dt + C1 e 3 y = e 4t e + t dt + C − 3t ∫ 2 e 3t 2 3 t t −t −t y1 = e − 2te − 2e − 3 + C1 y = e 4t − te − 2e + C − 3t − 3t 2 3 2 9 Vậy nghiệm của pt là X=PY 1 Tính L = lim e − (1 + x ) . X
Câu III. X x →0 1 1 ln(1+ x ) e − (1 + x) e−e x xlim = lim x x x →0 x →0 x 1 x2 2 1 1− 2 x x− +o ( x ) e 1− x 2 e−e e−e e 2 2= lim = lim == lim = x x 1 2 x →0 x →0 x →0 2 dx Tính tích phân I = ∫Câu IV. . X 3x 2 − 2 x − 1 1 −1 1 1 Đặ t t = ⇒ x = ⇔ dx = 2 dt x t t x 1 2 y 1 1 2 −1 1 t. Dt 1 1 2 dt dt t2 I =∫ =∫ =∫ t − t 2 − 2t + 3 1 2 − ( t + 1) 1 32 2 2 1 − −1 2 1 t 2 t2 t 1 t +1 π 1 = arcsin = − arcsin 2 4 2 1 2 ∞ e x dx ∫ x phân kì. Tính minh chứng rằng tích phân suy rộng
Câu V. 1 x et dt ∫t.J = lim 1 x e x →∞ ex 1 > >0 ∀x > 1 Ta có: x x ∞ ∞x dx e dx cơ mà ∫ phân kì nên ∫ phân kì theo tiêu chuẩn so sánh 1 x x 1 1 x et ex ∫ t dt = lim xx = 0 J = lim 1 ex x →∞ e x →∞ 2 khảo sát điều tra và vẽ đồ vật thị hàm số y = e 4 x − x .Câu VI. TXĐ: R 2 y " = (−2 x + 4)e 4 x− x ⇒ y" = 0 ⇔ x = 2 = 0 4 x− x2 lim e x → +∞ => tiệm cận ngang là y=0 4 x− x2 lim e = 0 x →−∞ Tiệm cận xiên: 2 2 e 4 x− x ( −2 x + 4) e 4 x − x f ( x) lim = lim = lim =∞ x x 1 x→∞ x →∞ x→∞ => không có tiệm cận xiên Bảng trở thành thiên: x -∞ 2 +∞ y + 0 ─ y’ 4 e 0 0 báo giá trị: x 1 3 e3 e3 y Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi y = 3 x 2 ; y = 4 − x 2 .Câu VII. Phương trình hoành độ giao điểm: 3x 2 = 4 − x 2 ⇔ 3x 4 = 4 − x 2 ⇔ x = ±1 diện tích s miền phẳng nên tìm: 1 ∫ SD = 4 − x 2 − 3 x 2 dx −1 vày y = 3 x 2 và y = 4 − x 2 không giảm nhau trong tầm (-1;1) cần ta có: 1 33 1 1 x ∫ ∫ SD = 4 − x 2 − 3 x 2 dx = 4 − x 2 dx − 3 −1 −1 −1 1 23 ∫ = 4 − x 2 dx − 3 −1 1 ∫ J= 4 − x 2 dx −1 Đặt x = 2sint ⇒ dx = 2 cos tdt π π ∫π ( 2 + 2 cos 2t ) dt = ( 2t +sin 2t ) 2π sin 1 6 ∫ 4 cos J= tdt = = +3 2 6 −π 3 sin −1 6 − 6 2π 3 Vậy S D = + 3 3 ĐỀ SỐ 7 Giải phương trình
Câu I. Y a/ y’= +3xex x Đây là pt tuyến đường tính cung cấp 1: ∫ dx −1 1 ∫ dx ⇒ y = e x ∫ 3 xe x e x dx + C 1 ⇔ y = x ∫ 3 xe pháo x dx + C x ⇔ y = x3e + C x b/(3x2+y3+4x)dx+3xy2dy=0. ∂Q ∂P = = 3y 2 Ta có: ∂x ∂y Đây là pt vi phân toàn phần: nghiệm tổng thể u(x,y) = C x x 3 3 2 x + y x +2x u ( x, y ) = ∫ (3 x + y + 4 x)dx = = x3 + y 3 x + 2x 2 2 3 0 0 Giải hệ pt bằng cách thức TR, VTR hoặc khử
Câu II. x1" (t ) = 4 x1 − 3 x2 + t 2 + t (1) " x2 (t ) = 2 x1 − x2 + e 3t (2) 4 −3 t2 + t A= F = 3t 2 −1 e Pt sệt trưng: A − λI = 0 4−λ −3 ⇔ =0 −1 − λ 2 ⇔ ( 4 − λ ) ( −1 − λ ) + 6 = 0 ⇔ λ 2 − 3λ + 2 = 0 λ = 2 ⇔ λ = 1 3 −3 x1 = 0 E1: 2 −2 x2 1 ⇒ E1 = 1 2 −3 x1 = 0 E2: 2 −3 x2 3 ⇔ E2 = 2 2 −3 −2 3 1 3 −1 P= ⇒ p. = − = −1 1 1 −1 1 2 1 0 D= 0 2 Đặt Y = P-1X => Y’=DY + P-1F y1" 1 0 y1 −2 3 t 2 + t " = + 3t y2 0 2 y2 1 −1 e y1" = y1 − 2(t 2 + t ) + 3e3t " y 2 = y2 + t + t − e 2 3t y1 = et 3e3t − 2(t 2 + t ) e −t dt + C1 ∫ y2 = et ∫ t 2 + t − e3t e −t dt + C2 Nghiệm là X=PY 1/ x (1 + 4 x)1 / x Tính giới hạn lim Câu III. . e4 x − >0 1 1 x ( 1 + 4x) 1 1 lim ln ( 1+ 4 x ) x − ln e 4 x =e x→0 x lim e4 x →0 1 1 2 1 ( ) () nón = lim 4 x − 16 x + o x − 4 2 x →0 x x 2 1 = lim ( −8 x + 0 ( x ) ) = −8 x →0 x 0 dx Tính tích phân I = ∫Câu IV. . 3 −2 ( x + 1) x + 1 Đặ t t = 3 x + 1 ⇒ t 3 = x + 1 ⇒ 3t 2 dt = dx x 0 -2 t 1 -1 1 3 1 2 3t dt =− ∫ I= = −6 3 −1 t .t t −1 ∞ x2 − 3 ∫ x( x + 1)( x 2 + 1) . Tính tích phân suy rộng sau
Câu V. 1 x2 − 3 Cx + D −3 2x + 2 A B 1 =+ +2 = + +2 x( x + 1)( x + 1) x x + 1 x + 1 x x +1 x +1 2 +∞ +∞ x2 − 3 −3 2x + 2 1 ∫ ) ∫ I= = + +2 dx ( x ( x + 1) x 2 + 1 x x +1 x +1 1 1 ( x ) +ln( x +1) +∞ +∞ 2x 2 = −3ln ∫x + + 2 dx +1 x +1 2 1 1 +∞ x +1 ( x +1) +2arctan x +∞ + ln 2 = ln x3 1 1 ( ) +∞ ( x +1) x +1 2 = ln + 2arctan x 3 x 1 π 3π = − ln 4 + π − = − ln 4 4 4 khảo sát và vẽ thiết bị thị hàm số y =| x | 1 − x 2 .Câu VI. Tập xác định: -1 Ta có: y ( − x) = − x 1 − ( − x ) = y ( x ) 2 => y là hàm chẵn. => đồ thị đối xứng qua Oy Xét 0 3 L = ∫ 1 + ( y ") 2 1 2 3 3 16 x 4 − 8 x 2 + 1 1 = ∫ 1+ x − = ∫ 1+ 16 x 2 4x 1 1 3 3 16 x 4 + 8 x 2 + 1 4x2 + 1 =∫ =∫ dx 16 x 2 4x 1 1 3 x2 1 3 3 4x +1 2 1 1 + ln x =∫ dx = ∫ x + dx = = 4 + ln 3 4x 4x 4 24 1 1 1 ĐỀ SỐ 9 Giải những phương trình
Câu I. Y3 dx − x 2 dy = 0 , y(4)=2 a/ 2 chia 2 vế mang đến y3x2 ta được: dx dy − =0 2 x2 y3 dx dy ⇔ 2= 3 2x y Tích phân 2 vế ta được: dx dy ∫ 2 x2 = ∫ y3 −1 1 ⇔ + 2 = C ⇔ 3y2 − 2x = C 2x 3y Theo đề bài ta có: 3.4-2.2=C ⇔ C=8 Vậy nghiệm của pt là: 3 y 2 − 2 x − 8 = 0 4y b/ y "− = x 4 cos x . X Đây là pt vi phân con đường tính cấp cho 1: ∫ dx −4 4 ∫ dx y = e x ∫ x 4 cos x.e x dx + C ( ∫ cos xdx + C ) = x4 = x 4 .sin x + Cx 4 Giải phương trình vi phân: y’’+2y’-3y= (6x + 1)e3x
Câu II. Phương trình đặc trưng: k = 1 k 2 + 2k − 3 = 0 ⇔ k = −3 ⇒ y0 = C1e x + C2 e −3 x yr = x s eα x .Qn ( x) vì chưng α = 3 ko là nghiệm của pt cần s = 0 ⇒ yr = e3 x ( Ax + B ) yr" = 3e3 x ( Ax + B ) + Ae3 x yr = 9e3 x ( Ax + B ) + 6 Ae3 x " nạm vào pt ta được: 9e3 x ( Ax + B ) + 6 Ae3 x + 2 3e3 x ( Ax + B ) + Ae3 x − 3e3 x ( Ax + B ) = ( 6 x + 1) e3 x 1 A = 2 ⇒ B = −1 2 Vậy nghiệm của pt là: y = y0 + yr 1 1 ⇔ y = C1e x + C2 e3 x + e3 x x − 2 2 ( x + 1) x +1.( x + 2) x + 2 .( x + 4) x + 4 Tính số lượng giới hạn lim
Câu III . ( x + 5)3 x +7 x →+∞ x + 1 x +1 x + 2 x + 2 x + 4 x + 4 = lim . . x+5 x+5 x+5 x →∞ x + 5− 4 x + 5 −3 x + 5 −1 4 3 1 = lim 1 − 1 − 1 − x+5 x+5 x+5 x →∞ 1 x +5 x +5 x +5 4 3 1 − 1 − 1 − x+5 x+5 x+5 = lim x →∞ 1 4 3 4 3 1 − 1− 1− x+5 x+5 x+5 = e −4 e −3e −1 = e −8 2 dx Tính tích phân: I = ∫Câu IV. ( x − 1) ( 2 − x ) 1 x = cos 2 t + 2sin 2 t ⇒ dx = ( −2sin t cos t + 4 cos t sin t ) dt = ( sin 2t ) dt π π π 2 2 sin 2tdx = ∫ 2dx = 2 x I=∫ =π 2 ( )( ) sin 2 t cos 2 t 0 0 0 ∞ 1 ∫ Tính tích phân suy rộng I = dx .Câu V. X ⋅ 4 x2 + 1 80 Đặ t t = 4 x 2 + 1 ⇒ t 4 = x 2 + 1 ⇔ 2 xdx = 4t 3 dt +∞ +∞ +∞ 2t 3 dt 2t 2 dt 1 1 I=∫ 4 =∫ 2 =∫ 2 +2 dx ( ) ( )( ) t −1 t +1 3 t −1 t 3 t −1 t + 1 2 3 +∞ 1 +∞ dt + arctan t ∫ ( t − 1) ( t + 1) = 3 3 +∞ π 1 1 1 ∫ t −1 t +1 2 = − dt + − arctan 3 2 3 +∞ 1 t −1 π ln = + − arctan 3 2 t +1 2 3 11π = ln + − arctan 3 222 điều tra khảo sát và vẽ thứ thị hàm số y = 3 1 − x3 .Câu VI. TXĐ: R −2 1 y " = −3 x 2 ( 1 − x 3 ) 3 3 ⇒ y"≤ 0 lim 3 1 − x 3 = −∞ x →+∞ ⇒ không tồn tại tiệm cận ngang lim 3 1 − x 3 = +∞ x →−∞ Tiệm cận xiên: 1 − x3 3 f a = lim = lim = −1 x →∞ x x x →∞ ) ( b = lim ( f + x ) = lim 1 − x3 + x 3 x →∞ x →∞ 1 = lim ( 1− x ) x →∞ 32 − x 3 1 − x3 + x 2 3 1 = =0 21 1 x 3 1 − 3 + 6 − 3 3 − 1 + 1 2 x x x Vậy tiệm cận xiên là y = -x Bảng biến đổi thiên: -∞ +∞ x y’ ─ +∞ y -∞ bảng báo giá trị: x -1 0 1 2 y −7 1 0 3 3 2 Tính độ dài cung y = ln x, 2 2 ≤ x ≤ 2 6 .Câu VII. 1 1 + ( y ") = 1 + 2 2 x ) Độ dài cung C : 26 26 x2 + 1 1 ∫ dx = ∫ L= 1+ x2 x2 22 22 Đặ t t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇔ tdt = xdt 5 5 t 2 dt 1 L=∫ 2 = ∫ 1 + 2 dt t −1 3 t −1 3 5 1 t −1 5 1 1 1 dt = t + ln = ∫ 1 + − 2 t +1 2 t −1 t +1 3 3 1211 14 = 2 + ln − ln = 2 + ln 2322 23 ĐỀ SỐ 19. Giải phương trình y − y tung x + y 2 cos x = 0 . "Câu I. Phân chia 2 vế cho y2 pt trở thành: y " tan x − = − cos 2 x (*) y2 y Đây là pt Bernouli −1 1 Đặ t u = ⇒ u " = 2 y " y y vậy vào pt (*) : u "− u tung x = cos x (pt vi phân tuyến tính) chảy xdx ∫ − tung xdx dx + C ⇒ u = e∫ ∫ cos x.e J = ∫ tung xdx Đặt t = cosx ⇒ dt = − sin xdx −dt ⇒J =∫ = − ln t = − ln cos x t ( ) ⇒ u = − cos x cos 2 xdx + C 1 − cos 2 x = − cos x ∫ dx + C 2 1 1 = − cos x x − sin 2 x + C 2 4 1 1 1 Vậy nghiệm của pt là: = − cos x x − sin 2 x + C 2 y 4 Giải hệ pt bằng phương thức TR, VTR hoặc khử
Câu II. x1" (t ) = 7 x1 − x2 + 2e5t (1) x " (t ) = 2 x + 4 x + 3e −6t (2) . 2 1 2 đem 4 lần pt (1) + pt (2) ta được: 4 x1" + x2 = 30 x1 + 8e5t + 3e −6t " (*) Đạo hàm pt (1) ta được: x1 = 7 x1" − x2 + 10e5t " " cố vào pt (*) ta có: 4 x1" + 7 x1" − x1 + 10e5t = 30 x1 + 8e5t + 3e −6t " x1 − 11x1" + 30 x1 = 2e5t − 3e −6t " e −6t x1 = C1e5t + C2 e6t − 2 xe5t − 44 13 −6t ⇒ x2 = 2C1e5t + C2 e −6t − 4 xe5t − e + 4e5t 44 1 1 Tính số lượng giới hạn I = lim − 2 .Câu III. X →0 x arctan x x x − arctan x I = lim x →0 x 2 arctan x x3 x3 x − x − + o( x 3 ) 3 1 = lim 33 = = lim 3 x x →0 x 3 x →0 3− x + 4 x +∞ tìm α nhằm tích phân I = ∫ dx hội tụ. (5+ x )Câu IV. α α −1 4 Xét α > 0 : lúc x → +∞ 4x 4 = α 2 −α −1 f: () α −1 xα x ⇔ α 2 − α −1 > 1 Tích phân hội tụ ⇔ α 2 đối với dk ta được α > 2 Xét α 2 x 4 dx 1 Tính tích phân I = ∫Câu V. . 2 2 −1 (1 + x ) 1− x x 4dx 1 I = 2∫ x2 ) 1 − x2 0 (1 + Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt π sin 4 t cos tdt 2 I = 2∫ ( ) 0 1 + sin t cos t 2 π π sin 4 t − 1 2 2 1 = 2∫ dt + 2 ∫ dt ( ) ( ) 0 1 + sin t 0 1 + sin t 2 2 π π 2 2 1 ( ) = 2 ∫ sin 2 t − 1 dt + 2 ∫ dt sin t + 1 2 0 0 = J +K π π π 1 2 π 2 2 J = 2 ∫ − cos 2 tdt = − ∫ ( cos 2t + 1) dt = − sin 2t +t =− 2 2 0 0 0 π π 2 2 1 1 K=∫ dt = ∫ dt sin t + 1 0 sin t 1 2 2 2 + 0 cos t 2 2 cos t cos t 1 u = chảy t ⇒ du = dt cos 2 t +∞ +∞ du 1 du K=∫ 2 =∫ ( ) 2 0 u2 + 1 0 u + u +1 Đặ t 2 +∞ ( ) 2 2π arctan 2u = = 22 2 0 π ( ) I = J + 2K = 2 −1 2 x2 + x - 1 1 .= x − 1 + khảo sát và vẽ đồ dùng thị hàm số y =Câu VI. X+2 x+ 2 Tập xác định: x ≠ −2 x2 + 4 x + 3 1y " = 1− = ( x + 2) ( x + 2) 2 2y"= 0 x = −1⇔ x = −3 x2 + x −1 = −∞lim x+2x →−2=> tiệm cận đứng là x = - 2 1 =0limx →∞ x + 2=> tiệm cận xiên là y = x - 1Bảng phát triển thành thiên: −∞ +∞ x -3 -2 -1 y’ + 0 ─ ─ 0 + +∞ +∞ y -5 (CT) −∞ −∞ (CĐ) -1Bảng giá chỉ trị: −5 −3 x -4 0 2 2 −11 −11 −1 −1 y 2 2 2 2 Tính diện tích bề mặt tròn xoay sinh sản của vật dụng thể tròn xoay khiến cho khi
Câu VII. Cù miền phẳng số lượng giới hạn bởi y = x 2 + 1;0 ≤ x ≤ 1/ 4; y = 0 xung quanh trục Ox. X y"= 1 + x2 diện tích s cần search là: 1 2 x 4 SOx = 2π ∫ 1 + x 1+ 2 dx 1 + x2 0 1 x2 4 = 2π ∫ 1 + x 1+ 2 dx 1 + x2 0 1 4 = 2π ∫ 1 + 2 x 2 dx 0 Đặ t t − 2 x = 2 x 2 + 1 ⇒ t 2 − 2 2 xt + 2 x 2 = 2 x 2 + 1 t 2 −1 ⇔ =x 2 2t ( ) ( ) 2t 2 2t − 2 2 t 2 − 1 ⇔ dx = dt 2 8t 2 2t 2 + 2 2 ⇔ dx = dt 8t 2 t 2 − 1 2 2t 2 + 2 2 2 SOx = 2π ∫ t − 2 dt 8t 2 2 2t 1 t 2 + 1 2 2t 2 + 2 2 2 ∫ 2t 8t 2 = 2π dt 1 2 2 2t 4 + 4 2t 2 + 2 2 ∫ = 2π dt 16t 3 1 2 1 2 2 ∫ t + t + t π = dt 3 4 1 2 2 t 1 2 + 2ln t − 4 2 π = 2t 2 1 2 1 1 1 2 3 π 1 + 2 ln 2 − − + = π ln 2 + = 4 2 4 2 4 4